Los métodos para la solución de problemas de contorno, incluyendo duros problemas de contorno

Biología y Química














Los métodos para la solución de problemas de contorno, incluyendo límite" duro" problemas


Métodos Alexey Yu Vinogradova

1 Introducción


En Ejemplo de sistema de ecuaciones diferenciales de los misiles de cubierta cilíndrica - un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de orden 8 (después de la separación derivadas parciales).

El sistema ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de la forma:


Y (x)=A (x) ∙ Y (x) + F (x),


donde Y (x) - la función de vector desconocido de la dimensión problema 8x1, Y (x) - derivada de la función del vector desconocido de 8x1 dimensión, A (x) - cuadrado matriz de coeficientes de la ecuación diferencial de dimensión 8x8, F (x) - una función vectorial de influencia externa en el sistema de Dimensión 8x1.

Aquí y luego el vector se denota por letras en negrita en lugar de guiones sobre

Límite condiciones tienen la forma:


U ∙ Y (0)=u,

V ∙ Y (1)=v,


donde

Y (0) - el valor de la función de vectores desconocidos en el borde izquierdo x=0 de 8x1 dimensión, T - rectangular horizontal la matriz de coeficientes de las condiciones de contorno del borde izquierdo de la dimensión 4x8, u - el vector de las influencias externas en el borde izquierdo de la dimensión 4x1,

Y (1) - el valor de la función de vectores desconocidos en el borde derecho x=1 8x1 dimensión, V - rectangular horizontal la matriz de coeficientes de las condiciones de contorno del borde derecho de la dimensión 4x8, v - el vector de las influencias externas en el borde derecho de la dimensión de 4x1.

En cuando el sistema de ecuaciones diferenciales tiene una matriz con constante coeficientes A=const, la solución del problema de Cauchy tiene la forma [Gantmakher]:


Y (x)=e ∙ Y (x) + e ∙ e ∙ F (t) dt,


donde

e=E + A (x-x) + A (x-x)/2! + A (x-x)/3! + ...,

donde E es la matriz identidad.

Matrix Más expositor puede ser llamada la matriz de Cauchy o matritsiantom y puede denotado como:


K (x ← x)=K (x - x).=E


A continuación, Problema de Cauchy puede escribirse como:


Y (x)=K (x ← x) ∙ Y (x) + Y * (x ← x),


donde Y * (x ← x)=e ∙ e ∙ F (t) dt es el vector de una solución particular de la no homogénea sistema de ecuaciones diferenciales.


 

2 Caso de coeficientes variables


Este la opción de considerar coeficientes variables se probó en el candidato tesis.

Desde teoría de matrices [] Gantmakher propiedades peremnozhaemosti conocidos de la matriz exponencial (Cauchy matrices):


e=e ∙ e ∙ ... ∙ e ∙ e,

K (x ← x)=K (x ← x) ∙ K (x ← x) ∙ ∙ ... K (x ← x) ∙ K (x ← x).


En cuando el sistema de ecuaciones diferenciales tiene una matriz con la variable coeficientes A=A (x), se propone la solución del problema de Cauchy búsqueda de propiedades utilizando matrices de Cauchy peremnozhaemosti. Es decir, el intervalo la integración se divide en regiones pequeñas y en pequeñas áreas de la matriz de Cauchy calculado aproximadamente por la fórmula de la matriz constante en el exponente. Y luego Matriz de Cauchy calcula en pequeñas parcelas, multiplica:


K (x ← x)=K (x ← x) ∙ K (x ← x) ∙ ∙ ... K (x ← x) ∙ K (x ← x),


donde Matriz de Cauchy se calcula aproximadamente por la fórmula:


K (x ← x)=e, donde? X=x x.


3 La fórmula para calcular el vector de una solución particular del sistema no homogéneo ecuaciones ...


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