Análisis de Ecuaciones Diferenciales

Biología y Química














Conferencia: Análisis de las ecuaciones diferenciales


Contenido

 

1. Maestro conceptos

2. Tareas que conduce a ecuaciones diferenciales

2,1 Movimiento uniformemente acelerado

2,2 Problemas geométricos

3. Ecuaciones de primer orden diferenciales

3,1 La ecuación con variables separables



1. Conceptos básicos  

Una ecuación diferencial es se llama ecuación que contiene la variable independiente x , la función desconocida y=y (X) y sus derivados y ', y' ',. Y ( n) F (x, y, y ', y ' ' ,. y (n)) =0.

El orden de la ecuación diferencial se llama el orden de aparición más alto derivado en ella.

para resolver ecuaciones diferenciales es cualquier función y=y (x), que, al ser sustituido en la ecuación lo convierte en una identidad.

Por ejemplo, la ecuación y ''=y ' es una ecuación de segundo orden diferencial, y las funciones y (x) =C 1 e x + C 2 son sus soluciones para cualquier constante C 1 y C 2 .

El procedimiento para buscar una solución a la diferencia ecuación se llama sus integración , y sus soluciones gráficas - integral curvas .

Cada ecuación diferencial para n tiene un número infinito de soluciones. Todas estas soluciones se definen función que contiene n constantes arbitrarias y=φ (x, C 1 , C 2 .C n ). Este conjunto de soluciones llamado solución general de la ecuación diferencial. Una solución particular de la ecuación diferencial es cualquier función de la familia, se encuentra con un conjunto específico de constantes C 1 , C 2 .C n .

Geométricamente, la solución general de la diferencia ecuación es una familia de curvas integrales del plano XOY , una solución particular - una curva específica de esta familia. Por ejemplo, dirigir diferenciación es fácil verificar que la solución general de la ecuación diferencial y ciento; y x =0 es una función de y =. Es decir, la solución general de la ecuación - una familia de círculos x 2 + y 2 =C 2 y

Las condiciones iniciales para el diferencial ecuación de orden n es un conjunto de valores de y (x) y sus derivados para n-1 inclusiva y ciento; (X), y ciento; (X),. Y (n1) (X) en algún momento x 0 .

del problema de Cauchy es el problema de la búsqueda de soluciones de la ecuación diferencial F (x, y, y ciento;, y ciento;., y (n)) = 0, que satisface las condiciones iniciales dadas:


y ( x 0 )= y 0 , y '( x 0 ) = y 1 , y '' ( x 0 )= y 2 ,. y ( n-1) ( x 0 )=y n-1 .


Geométricamente, esto significa que la solución general de la ecuación

y = j (x, C 1 , C 2 .C < sub> n ) debe así que elegir las constantes de C 1 , C 2 .C n , a correspondiente a ellos curva integral pasa por el punto del plano (x 0 , y 0 valores ) y en este punto se habían dado de todos sus derivados hasta para n-1 . Por ejemplo, la solución del problema y ciento Cauchy; y x=0, y (0)=2 círculo es x 2 + y 2 =4 . Para obtener esta decisión debe ser en total solución de x 2 + y 2 =C 2 sustituto condiciones iniciales dadas x=0 y y=2 y salir para encontrar el valor deseado constante C=2.

Afirmamos sin una prueba de los teoremas fundamentales de la teoría de control.

Teorema 1. ( existencia y unicidad de la solución del problema de Cauchy)

Si el F (x, y, y ciento;, y ciento;., Y (n)) es continuamente diferenciable en algunos región que contiene el punto (x 0 , y 0 ), en esta zona hay una solución única de la ecuación diferencial F (x, y, y ciento;, y ciento;., y (n)) =0 que satisface la inicial dada condiciones:

 

y ( x 0 )= y 0 , y '( x 0 ) = y 1 , y '' ( x 0 )= y 2 ,. y ( n-1) ( x 0 )=y n-1 .


2. Los problemas que conducen a las ecuaciones diferencial...


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