Minimización de funciones de varias variables métodos numéricos aproximados método de Monte Carlo

Matemáticas


1. Minimizar la función de muchas variables. Los métodos de análisis.
Weierstrass Teorema: Sea - conjunto de funciones continuas en un conjunto cerrado y acotado. Si, pues alcanza sus más altos y valores más bajos. Definición: Punto de puntos máximos y mínimos se llaman extremum. El último teorema de Fermat: (una condición necesaria para la existencia de un valor extremo). Deje que la función - se define en el barrio. Si - es el punto de extremo, y en este punto las derivadas parciales, entonces
(1)
Resumen: si - un punto extremo, a continuación, en este punto, ya sea realizado fórmula (1) o el derivado no está definido. Definición: El punto en el que la condición (1), llamado puntos de valor extremo. Ahora presentan condiciones suficientes para la existencia de extremos de funciones de varias variables. Para ello, vamos a recordar algunos hechos de la teoría de las formas cuadráticas. Definición: la />
llamado positivo (negativo) definido si (respectivamente) para todos siempre y desaparece sólo cuando. Ejemplo:
- forma definida positiva.- ¿No es definida positiva, sin embargo, porque.- Forma negativa-fijo.
Definición: la forma cuadrática que toma valores positivos y negativos se llaman forma indeterminada. Ejemplo:
4) - forma cuadrática indefinida
Ahora, ahora podemos formular condiciones suficientes para la existencia de extremos para la función de muchas variables.. Teorema: Sea y dejar a un punto crítico de la función. Si el cuadrática />
(es decir, el segundo diferencial de una función en un punto) es la forma definida positiva (negativa definitiva) de segundo grado, el punto - un punto de mínimo (o máximo). Si la forma cuadrática (4) está definida, entonces el punto - no hay extremum. A la pregunta: cuando la forma cuadrática es criterio de Sylvester positiva (o negativa) respuestas definitivas: Para forma cuadrática (2) y (3) se definida positiva, es necesario y suficiente que
(5)
Para la forma cuadrática (2), (3) tiene una definida negativa, es necesario y suficiente que />
Como se puede ver, para encontrar puntos extremos, tenemos que resolver el sistema en las ecuaciones generales, no lineales (1) y para determinar la naturaleza del punto de necesidad extremum basado en el criterio de Sylvester para comprobar la condición (5), (6) y (7) para la forma cuadrática diferencial (4) en el punto de extremo. Ilustramos este método con el Ejemplo 5: Una función de dos variables:
(8)
Solución: encontrar los puntos críticos:
(9)
que da los puntos críticos: A (0, 0) ; En (3; 2). Investigamos estos puntos. Para ello, tenemos que averiguar en cada uno de estos puntos, ¿qué especie pertenece a la forma cuadrática:
(10) (11) (12) (13)
En el punto A (0, 0), tenemos

es así, y las condiciones criterio de Sylvester no proporciona una respuesta a la cuestión de si el valor extremo en este punto. Para solucionar este problema es necesario para atraer las derivadas de orden superior y forma una orden superior, para el que la teoría general correspondiente, sin embargo, por lo que necesita para hacer referencia a los estudios numéricos. En el punto B (3, 2) tenemos:

obtener la matriz de la forma cuadrática:
.
es decir, Sylvester criterio B (3, 2) es el punto máximo:.
2. El método de descenso de gradiente
Como hemos visto en el último ejemplo numérico, el método analítico riguroso no siempre conduce a la meta (el caso de que el punto crítico ). En estos, y en más casos complejos se aplican diversas técnicas analíticas aproximados que matemáticamente resultado un tanto menos fuerza, pero sin embargo a veces conducen al resultado deseado. Estos métodos incluyen métodos y descenso más agudo gradiente. Supongamos que necesitamos encontrar. Considere un punto y calcular en esta función gradiente punto: ...


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